Opções de ponto fixo representação binário

3.7.Binary Fixed Point Um sistema de ponto fixo binário é outro exemplo de um sistema de numeração arábica. A única distinção de decimal é a raiz. O binário usa uma base de 2 em vez de 10. Especificamos a base (base) usando um subscrito no número. De agora em diante, não assumimos uma base de 10. 1001.101 2 1 2 3 0 2 2 0 2 1 1 2 0 1 2 -1 0 2 -2 1 2 -3 Uma maneira fácil de ler binário é trabalhando à esquerda e A partir do ponto binário, duplicando ou reduzindo para metade o valor dos dígitos em cada etapa: Os dígitos usados ​​em qualquer sistema árabe sempre variam de 0 a radix-1. Usar dígitos maiores tornaria possível representar um valor em mais de uma maneira. Por exemplo, se o ponto fixo binário permitiu o uso do dígito 2, então o número dois poderia ser representado como 2 ou 10. 3.7.1.Limitações do Conversor Binário 110 para binário. Não pode ser feito: como tentar representar 13 em decimal. Requer um número infinito de dígitos. Este é um problema para cálculos monetários. Soluções (BCD, centavos) Números de pontos fixos Os números de pontos fixos são uma maneira simples e fácil de expressar números fracionários, usando um número fixo de bits. Os sistemas sem suporte de hardware de ponto flutuante freqüentemente usam números de ponto fixo para representar números fracionários. (Os sistemas sem suporte de hardware de ponto flutuante incluem uma ampla gama de hardware - de DSPs de ponto fixo high-end, FPGAs e ASICs personalizados caros que processam mídia de streaming mais rápido do que qualquer unidade de ponto flutuante já construída para microcontroladores extremamente baixos ). O termo Fixed-Point refere-se à posição do ponto binário. O ponto binário é análogo ao ponto decimal de um número de base dez, mas como este é binário ao invés de decimal, um termo diferente é usado. Em binário, os bits podem ser 0 ou 1 e não existe um símbolo separado para designar onde o ponto binário está. No entanto, imaginamos ou assumimos que o ponto binário reside em um local fixo entre os bits designados no número. Por exemplo, em um número de 32 bits, podemos supor que o ponto binário existe diretamente entre os bits 15 (15 porque o primeiro bit é numerado 0, não 1) e 16, dando 16 bits para a parte de número inteiro e 16 bits para A parte fracionária. Observe que o bit mais significativo no campo de número inteiro é geralmente designado como o bit de sinal deixando 15 bits para a magnitude dos números inteiros. Largura e precisão Editar A largura de um número de ponto fixo é o número total de bits atribuídos para armazenamento para o número de ponto fixo. Se estivermos armazenando a parte inteira e a parte fracionária em locais de armazenamento diferentes, a largura seria a quantidade total de armazenamento para o número. O intervalo de um número de ponto fixo é a diferença entre o número mínimo possível eo número máximo possível. A precisão de um número de ponto fixo é o número total de bits para a parte fracionária do número. Como podemos definir onde queremos que o ponto binário fixo seja localizado, a precisão pode ser qualquer número até e incluindo a largura do número. Note-se, no entanto, que quanto mais precisão temos, menor a gama total que temos. Há uma série de padrões, mas neste livro vamos usar n para a largura de um número de ponto fixo, p para a precisão e R para o intervalo total. Nem todos os números podem ser representados exatamente por um número de ponto fixo, e assim a aproximação mais próxima é usada. A fórmula para calcular a representação de inteiro (X) em um formato Qm. n de um número de float (x) é: Para convertê-lo de volta a seguinte fórmula é usada: Alguns exemplos no formato Q3.4: Flutuadores escolhidos aleatoriamente: Alguns exemplos em O formato (extremamente comum) 1 Q7.8: Como a posição do ponto binário é inteiramente conceitual, a lógica para adicionar e subtrair números de ponto fixo é idêntica à lógica necessária para adicionar e subtrair números inteiros. Assim, ao adicionar uma metade mais uma metade no formato Q3.4, esperamos ver: Qual é igual a um como seria de esperar. Isso se aplica igualmente à subtração. Em outras palavras, quando adicionamos ou subtraímos números de ponto fixo, o ponto binário na soma (ou diferença) será localizado exatamente no mesmo lugar que nos dois números em que estamos operando. Ao multiplicar dois números de ponto fixo de 8 bits, precisamos de 16 bits para armazenar o produto. Claramente, uma vez que há um número diferente de bits no resultado em comparação com as entradas, o ponto binário deve ser esperado para se mover. No entanto, ele funciona exatamente da mesma maneira em binário como faz em decimal. Quando multiplicamos dois números em decimal, a localização do ponto decimal é N dígitos à esquerda do dígito mais à direita do produto, onde N é a soma do número de dígitos localizados no lado direito do ponto decimal no multiplicador eo multiplicando . Assim, no decimal quando multiplicamos 0,2 vezes 0,02, obtemos: O multiplicador tem um dígito à direita do ponto decimal eo multiplicando tem dois dígitos à direita do ponto decimal. Assim, o produto tem três dígitos à direita do ponto decimal (que é dizer, o ponto decimal está localizado três dígitos para a esquerda). Funciona da mesma forma em binário. Do exemplo de adição acima, sabemos que a metade número no formato Q3.4 é igual a 0x8 em hexadecimal. Uma vez que 0x8 vezes 0x8 em hex é 0x0040 (também em hexadecimal), o resultado de ponto fixo também pode ser esperado para ser 0x0040 - desde que sabemos onde o ponto binário está localizado. Vamos escrever o produto em binário: Uma vez que tanto o multiplicador e multiplicando têm quatro bits à direita do ponto binário, a localização do ponto binário no produto é de oito bits para a esquerda. Assim, a nossa resposta é 00000000.01000000, que é, como seria de esperar, igual a um trimestre. Se quisermos que o formato da saída seja o mesmo que o formato da entrada, devemos restringir o intervalo das entradas para evitar o estouro. Para converter de Q7.8 de volta para Q3.4 é uma simples questão de mudar o direito produto por 4 bits. Os números de ponto fixo são frequentemente utilizados internamente em filtros digitais, incluindo filtros FIR e IIR. Há uma série de considerações práticas para implementar algoritmos FIR e IIR usando números de ponto fixo. 2 3 Muitos sistemas incorporados que produzem ondas senoidais, como geradores DTMF, armazenam uma tabela de seno na memória de programa. (Seu usado para aproximar as funções sine () e cosine () matemáticas). Uma vez que tais sistemas têm frequentemente quantidades muito limitadas de memória de programa, muitas vezes os números de ponto fixo são utilizados de duas maneiras diferentes quando essas tabelas são utilizadas: os valores armazenados nas tabelas e os brads utilizados para indexar nestas tabelas. Valores armazenados na tabela de seno Editar Normalmente um quadrante das funções de seno e cosseno são armazenados nessa tabela. Normalmente é um quadrante onde essas funções produzem valores de saída no intervalo de 0 a 1. Os valores nessas tabelas normalmente são armazenados como números de ponto fixo - freqüentemente números de 16 bits no formato não assinado Q0.16 ou números de 8 bits em Valores Q0.8 não assinados. Parece haver duas maneiras populares de lidar com o fato de que Q0.16 não pode exatamente lidar com 1.0, ele só lida com números de 0 a (1,0-2-16): (a) Escala por exatamente um poder de dois (neste caso 216 ), Como a maioria dos outros sistemas de ponto fixo, e substituir (grampo) valores muito grandes para armazenar como o maior valor que pode ser armazenado: por isso 0 é representado como 0, 0,5 representado como 0x8000, (1,0-2-16) representado como 0xFFFF e 1,0 truncado e também representado como 0xFFFF. 4 (b) Escala pelo maior valor possível (neste caso 0xFFFF), de modo que ambos os valores máximo e mínimo podem ser representados exatamente: então 0 é representado como 0, (1.0-2-16) representado como 0xFFFE e 1.0 é Representado exatamente como 0xFFFF. 5 Algumas pessoas desenham círculos bastante precisos e calculam seno e cosseno bastante precisos com uma spline de Bezier. A tabela torna-se 8 valores representando uma única curva de Bezier aproximando 18 de um círculo a uma precisão de cerca de 4 partes por milhão, ou 14 de um círculo para uma precisão de cerca de 1 parte em mil. Muitas pessoas preferem representar a rotação (como ângulos) em termos de voltas. A parte inteira das voltas diz quantas revoluções inteiras aconteceram. A parte fracionária das voltas, quando multiplicada por 360 (ou 1 2 8) usando aritmética de ponto fixo assinada, dá um ângulo válido na faixa de -180 graus (- radianos) a 180 graus (radianos). Em alguns casos, é conveniente usar multiplicação não assinada (em vez de multiplicação assinada) em um ângulo binário, o que dá o ângulo correto na faixa de 0 a 360 graus (2 radianos). A principal vantagem de armazenar ângulos como uma fração de ponto fixo de uma curva é a velocidade. Combinar algum ângulo de posição atual com algum ângulo incremental positivo ou negativo para obter a nova posição é muito rápido, mesmo em microcontroladores de 8 bits lentos: ele toma uma adição de número inteiro, ignorando o estouro. Outros formatos para armazenar ângulos requerem a mesma adição, além de casos especiais para lidar com os casos de borda de transbordar 360 graus ou underflowing 0 graus. Comparado ao armazenamento de ângulos em um formato de ângulo binário, armazenar ângulos em qualquer outro formato - como 360 graus para dar uma revolução completa, ou 2 radianos para dar uma revolução completa - inevitavelmente resulta em alguns padrões de bits dando ângulos fora desse intervalo, Exigindo etapas extras para reduzir o valor para o intervalo desejado, ou resulta em alguns padrões de bits que não são ângulos válidos em todos (NaN), ou ambos. Usando um formato de ângulo binário em unidades de voltas nos permite rapidamente (usando shift-e-máscara, evitando multiplicação) separar os bits em: bits que representam voltas inteiras (ignorado ao olhar para o seno do ângulo alguns sistemas nunca se preocupam em armazenar estes Bits em primeiro lugar) 2 bits que representam os bits de quadrante que são usados ​​diretamente para indexar na tabela de consulta os bits de ordem inferior menos de um passo na tabela de índice (bits de acumulador de fase, ignorados ao procurar o seno do ângulo sem Interpolação) Os bits de fase de baixa ordem proporcionam uma melhor resolução de freqüência, mesmo sem interpolação. Alguns sistemas usam os bits de baixa ordem para interpolar linearmente entre os valores na tabela. 12 Isso permite que você obtenha mais precisão usando uma tabela menor (economizando espaço de programa), sacrificando alguns ciclos neste cálculo de interpolação extra. Alguns sistemas obtêm ainda mais precisão usando uma tabela ainda menor, sacrificando alguns ciclos mais para usar esses bits de baixa ordem para calcular a interpolação cúbica. 4 Talvez o formato de ângulo binário mais comum seja brads. Brads Edit Muitos sistemas embarcados armazenam o ângulo, a parte fracionária das voltas, em um formato de ângulo binário de um único byte. 13 Há várias maneiras de interpretar o valor nesse byte, que significam (mais ou menos) o mesmo ângulo: um ângulo em unidades de brads (radianos binários) armazenado como um inteiro não assinado de 8 bits, de 0 a 255 brads um Ângulo em unidades de brads armazenadas como um inteiro assinado de 8 bits, de -128 a 127 brads um ângulo em unidades de espiras, armazenado como uma virada fraccionada no formato não assinado Q0.8, de 0 a pouco menos de 1 volta completa um ângulo em unidades De voltas, armazenado como uma virada fracionária no formato assinado Q0.7 (), de -12 a pouco menos de 12 turno completo Um turno completo 14 é 256 brads 15 é de 360 ​​graus. Se um único byte não dá precisão suficiente, o sistema brad pode ser facilmente estendido com mais bits fracionários - 65.536 contagens por turno pode ser representado em 16 bits. 16 Para mais leituras EditIntroduction to Fixed Point Number Representation Na vida real, lidamos com números reais - números com parte fracionária. Computadores mais modernos têm suporte nativo (hardware) para números de ponto flutuante. No entanto, o uso de ponto flutuante não é necessariamente a única maneira de representar números fracionários. Este artigo descreve a representação de ponto fixo de números reais. O uso de tipo de dados de ponto fixo é amplamente utilizado no processamento de sinal digital (DSP) e aplicativos de jogos, onde o desempenho às vezes é mais importante do que a precisão. Como veremos mais adiante, a aritmética de ponto fixo é muito mais rápida do que a aritmética de ponto flutuante. Lembre-se que um número binário: representa o valor: 1 2 5 1 2 4 0 2 3 1 2 2 0 2 1 1 2 0 Agora, se dividir o número 53 por 2, sabemos que o resultado deve ser 26,5. No entanto, como podemos representá-lo se tivéssemos apenas representações inteiras A chave para representar números fracionários, como 26.5 acima, é o conceito de ponto binário. Um ponto binário é como o ponto decimal em um sistema decimal. Ele age como um divisor entre o número inteiro ea parte fracionária de um número. Em um sistema decimal, um ponto decimal denota a posição em um número que o coeficiente deve multiplicar por 10 0 1. Por exemplo, no numeral 26.5, o coeficiente 6 tem um peso de 10 0 1. Mas o que acontece com o 5 para O direito do ponto decimal Sabemos por nossa experiência, que ele carrega um peso de 10 -1. Sabemos que o número 26.5 quot representa o valor quotrento de seis e meio porque 2 10 1 6 10 0 5 10 -1 26.5 O mesmo conceito de ponto decimal pode ser aplicado à nossa representação binária, fazendo um ponto quotbinal. Como no sistema decimal, um ponto binário representa o coeficiente do termo 2 0 1. Todos os dígitos (ou bits) à esquerda do ponto binário carregam um peso de 2 0. 2 1. 2 2. e assim por diante. Dígitos (ou bits) à direita do ponto binário leva um peso de 2 -1. 2-2. 2 -3. e assim por diante. Por exemplo, o número: representa o valor: Agora, lembre-se na classe, discutimos deslocando um inteiro para a direita por 1 bit posição é equivalente a dividir o número por 2. No caso de inteiro, uma vez que não temos uma parte fracionária , Simplesmente não podemos representar o dígito à direita de um ponto binário, tornando este processo de deslocamento uma divisão inteira. No entanto, é simplesmente uma limitação de representações inteiras de número binário. Em geral, matematicamente, dada uma posição de ponto binário fixa, deslocando o padrão de bits de um número para a direita por 1 bit sempre divide o número por 2. Similarmente, deslocando um número para a esquerda por 1 bit multiplica o número por 2. A Deslocamento acima é a chave para compreender a representação de número de ponto fixo. Para representar um número real em computadores (ou qualquer hardware em geral), podemos definir um tipo de número de ponto fixo simplesmente fixando implicitamente o ponto binário para estar em alguma posição de um número. Iremos simplesmente aderir a esta convenção implícita quando representamos números. Para definir um tipo de ponto fixo conceitualmente, tudo o que precisamos são dois parâmetros: largura da representação numérica e posição do ponto binário dentro do número. Usaremos a notação fixedltw, bgt para o restante deste artigo, onde w denota o número de bits Usado como um todo (a Largura de um número), e b denota a posição de contagem de pontos binários a partir do bit menos significativo (contando a partir de 0). Por exemplo, fixedlt8,3gt denota um número de ponto fixo de 8 bits, dos quais 3 bits mais à direita são fracionários. Portanto, o padrão de bits: Olhando para esta tabela, podemos então facilmente perceber que podemos representar o número -2.5 com padrão de bits quot1011quot, se assumimos o ponto binário está na posição 1. Agora, você deve achar que os números de ponto fixo são De fato, um parente próximo da representação de inteiros. Os dois só difere na posição do ponto binário. De fato, você pode até considerar a representação de números inteiros como um caso quotípico de números de ponto fixo, onde o ponto binário está na posição 0. Todas as operações aritméticas que um computador pode operar em inteiro podem, portanto, ser aplicadas a números de ponto fixo também. Portanto, o benefício da aritmética de ponto fixo é que eles são tão diretos e eficientes quanto a aritmética de inteiros em computadores. Podemos reutilizar todo o hardware construído para a aritmética de números inteiros para realizar aritmética de números reais usando a representação de ponto fixo. Em outras palavras, aritmética de ponto fixo vem de graça em computadores. A desvantagem do número de ponto fixo é, obviamente, a perda de alcance e precisão quando comparadas com as representações de número de ponto flutuante. Por exemplo, em uma representação fixa de 8,1 gt, nossa parte fracionária é apenas precisa para um quantum de 0,5. Não podemos representar números como 0,75. Podemos representar 0,75 com fixedlt8,2gt. Mas então nós perdemos a escala na parte inteira. C não tem quottypequot nativo para número de ponto fixo. No entanto, devido à natureza da representação de ponto fixo, simplesmente não precisa de um. Lembre-se de todos os aritmética em números de ponto fixo são os mesmos que números inteiros, podemos simplesmente reutilizar o tipo integer int em C para executar aritmética de ponto fixo. A posição do ponto binário só é importante nos casos em que a imprimimos na tela ou fazemos a aritmética com diferentes quottypequot (como quando adicionamos int a fixedlt32,6gt). Ponto fixo é uma forma simples, mas muito poderosa para representar números fracionários no computador. Ao reutilizar todos os circuitos aritméticos inteiros de um computador, a aritmética de ponto fixo é ordens de grandeza mais rápidas do que a aritmética de ponto flutuante. Esta é a razão pela qual ele está sendo usado em muitos jogos e aplicações DSP. Por outro lado, ele não tem o alcance e a precisão que a representação de número de ponto flutuante oferece. Você, como programador ou designer de circuito, deve fazer o tradeoff.